Anteckningar 20 jan

[pmath size=24] N subset Z subset Q subset R [/pmath]

Bilder på tavlan finns med längst ner!

0,(9) = 0,99999999999999999999…. = 9/9 = 1
med undantag av detta kan varje reella tal skrivas med decimaler

0,(98) = 98/99 alltså 0,98989898989898989898…..

 

0, a1 a2 a3 (b1 b2 b3 b4) –> Rationellt d.v.s. alla tal som innehåller någon form av period (i slutet) alla de talen är rationella och enbart dessa tal är rationella.

Icke rationella, alltså irrationella tal, saknar period(!) men fortsätter ändå in i oändligheten.

 

1. Period <=> rationellt

2. Ej period <=< irrationellt

0:or… alltså att 1 = 1,000000000 och då innehåller det rent formellt en period.

 

Vi kan utvidga detta med komplexa tal.

[pmath size=24] N subset Z subset Q subset R subset C [/pmath]

C är egentligen = alla {a + bi då a,b subset IR}    i^2=-1

 

i kan inte vara ett reellt tal. För om vi jobbar med reella tal och kvaderar dessa (stora behov inom nk, fysik m.m. kräver komplexa tal!) så får vi alltid en positivt svar på x^2 = ___

 

I övrigt gäller samma lagar för komplexa tal.

1. t.ex. att a+b = b+a

2. ab = ba

3. a(b+c) = ab+ac

 

Hur multiplicerar du komplexa tal?

(a+bi)(c+di) = a (c+di) + bi(c+di) =

[pmath size=24] ac + adi + bic + bdi^2 [/pmath]

kom ihåg att i^2 ger -1

(ac-bd)+(ad+bc)i

så då ser vi att produkten att två komplexa tal också blir ett komplext tal.

 

[pmath size=24] (a+bi)/(c+di) = A + Bi [/pmath]

[pmath size=24] (a+bi)/(c+di) = {(a+bi)(c-di)}/{(c+di)(c-di)} [/pmath]

[pmath size=24] {(a+bi)(c-di)}/{(c+di)(c-di)} = {(ac + bci – adi + bd)}/{(c^2-d^2 i^2)} [/pmath]

[pmath size=24] {(a+bi)(c-di)}/{(c+di)(c-di)} = {(ac + bci – adi + bd)}/{(c^2+d^2)} [/pmath]

[pmath size=24] {(ac + bci – adi + bd)}/{(c^2+d^2)} = {(ac+bd/c^2+d^2)} + {(bc+ad/c^2+d^2)i} [/pmath]

[pmath size=20]{ac+bd}/{c^2+d^2} = A[/pmath]

{(bc+ad/c^2+d^2)} = B

 

Det finns tal som betecknas H –> Efter “Hamilton eller Hamiltoniska tal”.

När man arbetar med dessa så gäller inte ab = ba (!)

 

 

Vissa transformationer kan du inte byta plats på (viktigt inom matematisk utveckling, livet består av transformationer) så att ab = ba är inte självklart!

t.ex. om du öppnar garageporten och sedan kör in så blir resultatet ok

men om du först “kör in” och sedan öppnar garageporten så blir resultatet något annat.

men i den här kursen stannar vi vid komplexa tal.

 

 

13:26.

Antag att vi har ett intervall  t.ex. 1   exempelvis 1dm.. det är en längd vi kan få ut.

 

Här får vi hjälp av pytagoras sats –>   vilket ger om sidorna är 1 och 1 så blir hypotenusan roten ur 2…  på DET sättet kan vi rita upp den sträckan!

 

för att få fram streckan för roten ur 3 så kan sidorna vara  roten ur 2 och 1 då får vi att hypotenusan = roten ur 3.

 

Samma metod för roten ur 4, 5, 6 o.s.v. fungerar likadant

 

Ett gammal problem. går det att på detta sätt rita [pmath size=16]root{3}{2}[/pmath]

Svar: Nej, vi kan inte rita upp detta med kuber!

 

 

 

 

Potenser

[pmath size=16]a^m[/pmath]

1. [pmath size=16] m subset N doubleright a^m = a * a * a * a …. [/pmath] m gånger.

Speciellt:

[pmath size=16]a^2 = a*a[/pmath]
[pmath size=16]a^3 = a*a*a [/pmath]
[pmath size=16]a^1 = a [/pmath]
[pmath size=16]a^0 = 1 då a<>0 [/pmath]

 

 

a^m + a^n = a^(m+n)

 

 

[pmath size=16]a^1 = a [/pmath]

Regel för (a+b)^m

Bionomer? “En komplicerad lag”

Bra att veta enkla fall:
[pmath size=16](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 [/pmath]

De fetstilta MÅSTE vi känna till! Han sa det uttryckligen!

 

a^(4-2) = a^2 = (a*a*a*a)/(a*a) = (a^4)/(a^2)

Om m>n => a^(m-n) = (a^m/a^n)

 

men vad händer om m < n ?! Då måste vi utvidga vår definition

för negativa potenser gäller

[pmath size=16]a^{-k} = 1/{a^k} [/pmath]

vilket ger, t.ex.:

[pmath size=16] {a^2}/{a^4} = {a*a}/{a*a*a*a} = 1/{a^2} [/pmath]

Vilket ger [pmath size=16]a^{m-n} = {a^m}/{a^n} [/pmath] för alla positiva heltal m,n

 

 

Vi testar att beräkna (ab)^-3

[pmath size=16](ab)^{-3} = 1/{(ab)^3} = 1/{ab*ab*ab} = 1/{a^3*b^3} = {1/a^3}*{1/b^3}=a^-3*b^-3 [/pmath]

 

Det hela avslutades med att repetera regler för att multiplicera bråktal.

 

Tavlan idag:

  • 3 Comments

  • Logga in